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上三角行列と下三角行列の性質

math

今回はこちらの記事こちらの文書を参考にします。

定義
 n \times nの正方行列 A=(a_{ij})について
 i > jならば a_{ij} = 0」を満たす行列を上三角行列(upper triangular matrix)
 j > iならば a_{ij} = 0」を満たす行列を下三角行列(lower triangular matrix)
という。

行列式の定義
三角行列の行列式を考える前に、一般の行列における行列式をおさらいしましょう。

 det(A) = \sum_{\sigma \in S_{n}} sgn(\sigma) \prod_{i=1}^{n} a_{n \sigma (i)}

 \sum_{\sigma \in S_n} sgn(\sigma) a_{1 \sigma (1)} a_{2 \sigma (2)} \cdots a_{n \sigma (n)}

  •  \sigmaは1から nの置換を表す。
  •  \sum_{\sigma \in S_n} n次の全ての置換に関して和を取ることを表す。
  •  sgn( \sigma )は置換の符号を表している。奇置換なら -1、偶置換なら 1をとる。

三角行列の行列式
上記した行列式の定義を利用すれば、逆行列を求めるのは容易です。
恒等置換以外では必ず 0が入るので、
 det(U) = \prod_{i=1}^{n} u_{ii}

三角行列の逆行列
ここでは上三角行列の逆行列が上三角行列であることを証明します。
まずは次の補題から証明します。
[補題1]

 A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\  & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ & & \ddots & \vdots \\ 0 & & & a_{nn} \end{bmatrix}

 n次の上三角行列、 a_{ii} \neq 0とすると、 AB=I_nを満たす上三角行列 B b_{ii} \neq 0が存在する。
[証明]
数学的帰納法により証明する。
 n=1のときは自明。
 n-1のときにこの補題が正しいとき、 n-1次の上三角行列 A' A' B' = I_nを満たす n-1次の上三角行列 B'が存在する。
ここで、

 B= \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n-1} & x_{1} \\ & b_{22} & \cdots & b_{2n-1} & x_{2} \\ & & \ddots & \vdots & \vdots \\ & & & b_{n-1n-1} & x_{n-1} \\ 0 & & & 0 & x_{n} \end{bmatrix}


とおいて、 AB=I_nとなるような x_1, x_2, \cdots, x_nを求める。

 \left\{ \begin{array}{r} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \cdots + a_{1n} x_{n} = 0 \\ a_{22} x_{2} + \cdots + a_{2n} x_{n} = 0 \\ \vdots \\ a_{nn} x_{n} = 1 \end{array} \right.

 a_{nn} \neq 0なので、

 x_n = a_{nn}^{-1}

これより

 x_{n-1} = - a_{n-1 n} a_{n n}^{-1} a_{n-1 n-1}^{-1}

となる。
以上の操作を繰り返すことにより、 x_1, x_2, \cdots, x_nを求めることができる。

[補題2]

 A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\  & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ & & \ddots & \vdots \\ 0 & & & a_{nn} \end{bmatrix}

に対して、 n次行列 B=(b_{ij}) AB=I_nを満たすものが存在すれば、 a_{ii} \neq 0である。
[証明]
数学的帰納法で証明する。 n=1のときは自明。
 n-1のときにこの補題が成立するとき、

 AB_{n j} = \sum_{k = 1}^{n} a_{nk} b{kj} = a_{nn} b_{nj} = \delta_{n j}

よって、

 a_{nn} \neq 0

 i = 1, \cdots, n-1に対して

 a_{nj} = 0

が成立。
これを帰納法の仮定より、

 a_{ii} \neq 0

ちなみに余因子を使っても証明できます。
余因子ってなんだっけって人は下を参考にしてください。

余因子による逆行列
 A逆行列 ij成分は

 \Delta_{ij} / det(A)

 \Delta_{ij} A j行目と i列目を取り除いた行列の行列式 (-1)^{i + j}倍したもの。